ホモトピー群

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　ホモトピー群は

　　　　　　

であり球面からの基点付き写像のホモトピー類ということになる。

　　　　　

という見方もある。こちらのほうが群の演算を定義するときにしやすいかもしれない。
いずれにしても重要なのは、定義は楽だが計算は面倒だという点である。有名な問題では球面のホモトピー群の決定なんかがあげられる。

はkが十分大きなところでは良くわかっていなくて今も研究が進んでいる。球面のような単純な空間ですら複雑なのだから、ホモトピー群は可縮でもない限り計算は容易でない。というわけで次数の低いところを求めて、それを高次に発展させていく方法が賢明である。

　とはいえ、n=1の基本群を求めるのでも容易ではない。一番単純なS^1ですら結構煩雑である。ここでは被覆空間というものを考えてS^1のホモトピー群を求める。これは後々に出てくるファイバー束やファイブレーションに繋がる考えである。結論から言えば、S^1の基本群は整数Zに同型である。が、どうやってその同型を見つけるかというと、回転数という考えがもっともピンと来ると思う。つまり、S^1上のループは反時計回りを正として何回、S^1上を回ったのか、その回数で整数との対応を付けるがわかりやすい。感覚的にはわかりやすくても、それを実際回転した角度等を厳密に定義しようとなると中々厄介ではあるが。
　基本群と被覆空間の関係は切っても切り離せない。代数の見地からも線形圏の基本群、被覆空間も考えられている【CRS07】、【CRS09】、【CM04】。
　基本群を求める上で有力なのがSeifert-Van Kampenの定理である。これは空間の押し出し図において、３つの空間の基本群がわかっていれば押し出された空間の基本群もわかるというものである。もっと言えば、基本群の表示で生成元の自由積と関係式の表示がされていたとき、押し出された空間の基本群もそれらの生成元と、ある関係式でかけるというものである。証明などは【加藤88】に載っている。
　基本群（ホモトピー群）は写像空間の商集合として定義できるので、商空間として位相を考える事もできる【Bra10】。
　基本群は基点を定める必要が、基点全て動かすと自然に亜群が構成される。これが基本亜群であり、基本群はこのendmorphism群である。【Woo09】によると、空間に順序があるようなstratified spaceに関しては、基本亜群ではなく基本圏が定義され、その局所化として基本亜群が得られるらしい。

　ホモトピー群に関する基本的な事柄は、【西田85】か「ファイバー束とホモトピー」のサイトがわかりやすく、その他のホモトピー論に関しての重要な記載が多い。また Blackers-Massay の切除定理はなかなか難しいので証明は省く。【May99】に詳しく載っている。

　ホモトピー群が[S^n,X]なら、逆に[X,S^n]というものあってもよさそうである。実際にコホモトピー集合と呼ばれている。ただ余り普及されてない原因としては、一般的には群ではなく、ただの集合だという点。Xが余H-空間か、n=0,1,3,7のいずれかなら、S^nがH-空間となって積構造が入るが。【Tay09】では主束の理論の例として、[X,S^2]を考えている。